離散信号基底変換の基本

長さ N の系列 x は N次元 数ベクトル内積空間 R^N の元とみなせる。
x を標準基底 {e_i} の線形結合で表現すると次のようになる。

内積を用いて表現（正規直交展開）すると

R^Nを張る正規直交系 {e_i'} だとまったく同じ式になる。
例えばcosの系列は正規直交系を構成するので（これがR^Nを張る（基底になる）と仮定すると）次のように表現できる。

各周波数のcos波とxの類似度が内積で取られ、その重みに基づいてcos波の重ね合わせ（線形結合）でxが表現できる。
N個の内積スカラーを集めた長さNのベクトルが周波数表現になる。
実装時にはcosの行列（テーブル）をハードコードしておいて、ベクトル行列積で計算。

他の正規直交基底でも全く同じ議論になる。
sin・cos・e-iのような周期関数や、減衰関数の重ね合わせなど、いろいろあるが全部これに帰着できる。